Averages of norms and behavior of families of projective caps on the sphere ∗

We compute the number of summands in q-averages of norms needed to approximate an Euclidean ball. Surprisingly, for a large range of q-s, these numbers depend essentially only on the maximal ratio of the norm and the Euclidean norm. Some properties of a family of projective caps on the sphere are central in this study. Moyennes de normes sur la sphère et comportement d’une famille de calottes projectives Résumé Nous calculons le nombre de termes d’une q-moyenne de normes qui sont nécéssaires pour approximer une norme euclidienne. Le résultat surprenant est l’existence d’un grand intervalle tel que si q appartienne à cet intervalle, ces nombres dépendent essentiellement seulement de la borne supérieure du rapport entre la norme donnée et la norme euclidienne. Certaines propriétés d’une famille de calottes projectives de la sphère sont centrales pour cette étude. Version française abrégée Soit X = (IR, ‖ · ‖, | · |) un espace normé, muni d’une norme euclidienne, soit Sn−1 une boule unité euclidienne munie de la mesure de probabilité invariante par rotation ν, et Gn,m la grassmanienne des sous-espaces de dimension m de IR, munie de la mesure de Haar de probabilité μ determinée par la structure euclidienne dans IR. Soit a et b ∗Note présentée par Michel Talagrand.